Двоичная система счисления

    В двоичной системе счисления для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Основание двоичной системы равно 2.
    Двоичное число представляет собой цепочку нулей и единиц. Например, запись 1102 соответствует десятичному числу 6, так как старшая единица в значение числа вносит 22, а вторая единица вносит 21.
    Следует запомнить первые 9 чисел двоичной системы, их запись будет часто употребляться при изложении дальнейшего материала.

   
    Приведем двоичную запись некоторых степеней числа десять. 

   Из приведенного примера видно, что самым существенным недостатком двоичной системы является быстрый рост числа цифр в двоичном представлении. Используя развернутую форму записи, любое число в двоичной системе счисления можно представить в виде суммы степеней двойки. 

   Все позиционные системы счисления "одинаковы", а именно во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам; справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный; справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком, знакомые нам по действиям в десятичной системе счисления; правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения Р-ичных цифр. 

  Для того чтобы производить арифметические операции над двоичными числами, надо знать таблицу сложения и таблицу умножения в двоичной системе.

Сложение и вычитание

   
   Таблица сложения в двоичной системе предельна проста. Поскольку 1 + 1 = 102, то при сложении столбиком в данном разряде остается 0, а 1 переносится в следующий разряд.
   Рассмотрим несколько примеров выполнения операции сложения в двоичной системе.
   Из приведенных примеров видно, что при сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе, как и в любой позиционной системе счисления, в следующий разряд может переходить только единица. А результат выполнения сложения в новом разряде все равно будет меньше, чем 2Р (максимум 2Р - 1, что в двоичной системеравно 112 = 3).
    Результат сложения двух положительных чисел либо имеет столько же цифр, сколько и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.
   При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Умножение и деление

   Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.