Системы счисления

 Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
 Система счисления:
 - даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
 - даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
 - отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
                  

                                   Позиционная система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b>1, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:
— это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

                   x = (a_n-1)*(a_n-2)*…*a_0.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

                                 103 = 1*10² + 0*10¹ + 3*10⁰.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
    1 — единичная (счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);

 2  — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
    3 — троичная;
    8 — восьмеричная;
   10 — десятичная (используется повсеместно);
   12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
   13 — тринадцатеричная;
 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.